Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）當a≤0時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），利用函數的單調性來求f（x）的最小值．
（Ⅱ）f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，分母為正，分子結合二次函數圖象及性質，找出函數值為正值、負值的區間，得出函數f（x）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
當a=1時，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為 f（2）=-2ln2…（7分）
（Ⅱ）∵f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

∴（1）當-2＜a≤0時，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
   x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
  x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
（2）當a=2時，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
（3））當a＜-2時，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
  x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
  x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數．

點評：本題考查函數與導數，利用導數研究函數的單調性屬于中檔、常規題．涉及到了分類討論的思想方法．