Question

設曲線y=（x-2）²（0＜x＜2）上動點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則△AOB面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用導數的幾何意義得到直線的斜率，寫出切線的方程，表示出△AOB的面積，再利用導數研究其單調性即可得出．
解答：解：設切點P（x，y），（0＜x＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切線的斜率為2（x-2）．
切線方程為y．
令y=0，解得．∴A．
令x=0，解得y=．∴．
∴S_△AOB=|AO||OB|==．
令，則=-（3x-2）（x+2）．
令f^′（x）=0，又0＜x＜2，解得．列表如下：
由表格可得到：當時，f（x）取得極大值，也即最大值．
此時，S_△AOB取得最大值，=．
故答案為．
點評：熟練掌握導數的幾何意義、切線的方程、三角形的面積公式、利用導數研究其單調性是解題的關鍵．