Question

設曲線y=（x-2）²（0＜x＜2）上動點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則△AOB面積的最大值為

64

27

．

Answer 1

分析：利用導數的幾何意義得到直線的斜率，寫出切線的方程，表示出△AOB的面積，再利用導數研究其單調性即可得出．

解答：解：設切點P（x₀，y₀），（0＜x₀＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切線的斜率為2（x₀-2）．
切線方程為y-(x0-2)2=2(x0-2)(x-x0)．
令y=0，解得x=

x0+2

2

．∴A(

x0+2

2

，0)．
令x=0，解得y=4-

x

2 0

．∴B(0，4-

x

2 0

)．
∴S_△AOB=

1

2

|AO||OB|=

1

2

×

|x0+2|

2

×|4-

x

2 0

|=

1

4

(-

x

3 0

-2

x

2 0

+4x0+8)．
令f(x0)=-

x

3 0

-2

x

2 0

+4x0+8，則f′(x0)=-3

x

2 0

-4x0+4=-（3x₀-2）（x₀+2）．
令f^′（x₀）=0，又0＜x₀＜2，解得x0=

2

3

．列表如下：
由表格可得到：當x=

2

3

時，f（x₀）取得極大值，也即最大值．
此時，S_△AOB取得最大值，

1

4

[-(

2

3

)3-2(

2

3

)2+4×(

2

3

)+8]=

64

27

．
故答案為

64

27

．

點評：熟練掌握導數的幾何意義、切線的方程、三角形的面積公式、利用導數研究其單調性是解題的關鍵．