Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n,已知a₃=12,S₁₂>0,S₁₃<0.

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出S₁、S₂、…、S₁₂中哪一個值最大，并說明理由.

Answer 1

(1) 公差d的取值范圍為－＜d＜－3, (2) 在S₁，S₂，…，S₁₂中，S₆最大.

解析:

依題意有:

解之得公差d的取值范圍為－＜d＜－3. 

(2)解法一: 由d＜0可知a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃,因此，在S₁，S₂，…，S₁₂中S_k為最大值的條件為:  a_k≥0且a_k+1＜0,即

∵a₃=12,∴，∵d＜0,∴2－＜k≤3－

∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5  5＜k＜7.

因為k是正整數，所以k=6,即在S₁，S₂，…，S₁₂中，S₆最大.

解法二: 由d＜0得a₁>a₂>…>a₁₂>a₁₃，

若在1≤k≤12中有自然數k,使得a_k≥0,且a_k+1＜0,

則S_k是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值.

由等差數列性質得，當m、n、p、q∈N^*,且m+n=p+q時，a_m+a_n=a_p+a_q. 所以有2a₇=a₁+a₁₃=S₁₃＜0,

∴a₇＜0,a₇+a₆=a₁+a₁₂=S₁₂>0,∴a₆≥－a₇>0,

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆最大.

解法三: 依題意得:

最小時，S_n最大；

∵－＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.

從而，在正整數中，當n=6時，［n－ (5－)］²最小，所以S₆最大.