Question

一個棱長均為a的正三棱柱內接于球，則該球的表面積為（　　）

• A．

  7

  3

  πa2
• B．2πa²
• C．

  11

  4

  πa2
• D．

  4

  3

  πa2

Answer 1

分析：作出示意圖，可得外接球的球心是上下底面的中心的連線，結合等邊△ABC的性質求出AO₁的長，在Rt△O₁OA利用勾股定理，可計算出外接球的半徑R，從而可求球的表面積．

解答：解：設正三棱柱上下底面的中心分別為O₁、O₂，則外接球的球心是O₁O₂的中點O
Rt△O₁OA中，O₁O=

a

2

，AO₁=

3 a

3

，
∴AO=

AO12+O1O2

=

7 12

a
即外接球的半徑R=

7 12

a
∴該球的表面積為4π×

7

12

a2=

7

3

πa2
故選A．

點評：本題考查了球內接多面體的性質，考查了空間想象能力，屬于基礎題．