Question

9．設z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$．
①求|z|；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，求實數m的值．

Answer 1

分析 ①根據復數的四則運算進行化簡，結合復數的模長公式進行計算即可．
②根據復數相等的條件建立方程即可求出m的值．

解答 解：①z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{5-3i+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$=$\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-25i}{9+16}$=1-i，
則|z|=$\sqrt{2}$；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，
則|$\overline{z}$|+mi=$\sqrt{2}$i（1-i）=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$+mi=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即m=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查復數的化簡和模長的計算，根據復數的運算法則將復數進行化簡是解決本題的關鍵．