Question

（2007•上海模擬）已知f（x）是定義在R上的函數，且滿足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f(1)=

1

2

，f(2)=

1

4

，則f（2007）=

1

3

．

Answer 1

分析：根據題意可求得f（3），f（4），f（5），…從中尋找出規律，問題即可解決．

解答：解：∵f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f(1)=

1

2

，f(2)=

1

4

，
∴f（3）+f（3）•f（1）+f（1）=1，解得f（3）=

1

3

，同理可求得f(4)=

3

5

，f(5) =

1

2

，f(6)=

1

4

…
所以f（x）是周期為4的周期函數，∴f（2007）=f（3）=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查函數的周期性，難點在于逐項求值，尋找規律（找周期），屬于中檔題．