Question

11．函數f（x）=a+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數．
（1）求a的值；       
（2）判斷函數f（x）在（-∞，+∞）的單調性并給予證明．

Answer 1

分析 （1）函數$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數．則f（0）=0，解得a的值；       
（2）證法一：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，結合單調性的定義，可得函數f（x）在（-∞，+∞）的單調性；
證法二：求導，判斷導函數的符號，進而可得函數f（x）在（-∞，+∞）的單調性．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數．
∴f（0）=0，…（2分）
即$a+\frac{1}{{{4^0}+1}}=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）由（1）知$a=-\frac{1}{2}$，則$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$，…（5分）
函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，給出如下證明：…（6分）
證法一：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，…（7分）
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}}）-$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}}）$
=$\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}}-$$\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{{4^{x_1}}-{4^{x_2}}}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$…（9分）
=$\frac{{{4^{x_1}}（1-{4^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$，…（10分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴${4^{{x_2}-{x_1}}}＞1$，∴$1-{4^{{x_2}-{x_1}}}＞0$，…（11分）
又∵${4^{x_1}}＞0$，${4^{x_1}}+1＞0$，${4^{x_2}}+1＞0$，
∴$\frac{{{4^{x_1}}（1-{4^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．…（12分）
證法二：∵$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$
∴$f′（x）=\frac{-ln4•{4}^{x}}{{（4}^{x}+1）^{2}}$，…（9分）
∵f′（x）＜0恒成立，…（11分）
故函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，函數的奇偶性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．