Question

（2011•甘肅一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若點E為PB的中點，求二面角A-DE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，易得AC⊥BD，且PD⊥AC，結合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由PD=AD=1，我們可以求出四棱錐P-ABCD的各頂點的坐標，進而求出平面ADE，和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-DE-B的大小．

解答：解：（1）證明：底面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC
∴AC⊥平面PBD
又由AC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
∵PD=AD=1
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）
又∵點E為PB的中點，∴E（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

AE

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）
又

PC

=（0，1，-1），
∴

AE

•

PC

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）•（0，1，-1）=0，
∴PC⊥AE，又PC⊥AD
∴PC⊥平面ADE
故

PC

=（0，1，-1），即為平面ADE的一個法向量
又由（1）可知

AC

=（-1，1，0）為平面BDE的法向量
故cosθ=

PC • AC

| PC |•| AC |

=

1

2

故此時二面角的大小為60°（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中（1）的關鍵是掌握空間線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的互相轉化，（2）中的關鍵是建立恰當的空間坐標系，并求出兩個平面的法向量．