Question

（2011•甘肅一模）設{a_n}，{b_n}都是各項為正數的數列，對任意的正整數n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列．
（1）證明數列{b_n}是等差數列；
（2）如果a1=2，b1=2，記數列{

1

an

}的前n項和為S_n，求證：S_n＜1（n∈N^*．）

Answer 1

分析：由題意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）結合已知條件a_n＞0，b_n＞0及②得a_n+1=b_nb_n+1從而當n≥2時，a_n=b_n-1b_n結合①，2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）從而可得數列{b_n}是等差數列
（2）由a₁=2，b₁=2及①得a₂=6，再由②得b₂=3從而有a₂=6，b₂=3從而可得等差數列{b_n}的首項b₁=2公差 d=b₂-b₁=1 通項公式b_n=2+（n-1）=n+1又 a_n=b_n-1b_n=n（n+1可得數列{a_n}通項公式為a_n=n（n+1）
則

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和可求S_n，可證

解答：解：由題意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）∵a_n＞0，b_n＞0
∴由②得a_n+1=b_nb_n+1
從而當n≥2時，a_n=b_n-1b_n
代入①，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）
∴數列{b_n}是等差數列
（2）∵a₁=2，b₁=2
∴由①得a₂=6，再由②得b₂=3
等差數列{b_n}的首項b₁=2公差 d=b₂-b₁=1∴b_n=2+（n-1）=n+1
當n≥2時，a_n=b_n-1b_n=n（n+1），當n=1時，a₁=2也成立
∴數列{a_n}通項公式為a_n=n（n+1）
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

數列{

1

an

}的前n項和Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴S_n＜1

點評：（1）等差數列的證明常用的方法（i）定義法：a_n-a_n-1=d；（ii）等差中項法：2a_n=a_n-1+a_n+1
（2）裂項求和是數列求和中的重要方法，要注意其適用的結構特點