Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，，.是棱的中點.

（1）求證：面；

（2）求二面角的正弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取SC的中點N，連接MN，DN，根據中位線定理可知，，即可證明為平行四邊形，可得，從而由線面平行的判定定理可證明面；

（2）由題意可以點為原點建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值，再根據同角三角函數關系式轉化為二面角的正弦值即可；

（1）證明：取SC的中點N，連接MN，DN，因為M，N分別為SB，SC的中點，

所以，，

又，

所以，，

故四邊形為平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：

則，，，，

所以，，，

設平面的法向量是，則，即，

令，則，，.

設平面的法向量為，則，即，

令，則，，，

設二面角的平面角大小為，

則，即.

二面角的正弦值為.