Question

15．已知函數$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）探求f（x）在區間[1，+∞）的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，建立方程，求a的值；
（2）利用奇函數的定義判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）利用單調性的定義，判斷與證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，∴1+a=2，即a=1．
（2）由（1）可知，f（x）=$x+\frac{1}{x}$．
∵函數f（x）的定義域（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
f（-x）=（-x）+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）．
∴函數f（x）是奇函數．
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）•（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$．
當x₂＞x₁≥1時，x₁x₂＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．