Question

如圖，在三棱錐中底面
點，分別在棱上，且 
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）與平面所成的角的大小
（Ⅲ）存在點E使得二面角是直二面角.

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.       ……………4分
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，……………6分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴與平面所成的角的大小        ……………8分.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，        ……………10分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.    ……………12分
【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，
設，由已知可得
.……………2分
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.     ……………4分
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，               ……………6分
∵，∴.
∴與平面所成的角的大小……………8分
（Ⅲ）解法同一 （略）