Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若B=60°，且cosA=

11

14

．
（1）求cosC的值；
（2）若a=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡已知的等式，求出cos（B+C）的值，再利用同角三角函數間的基本關系求出sin（B+C）的值，由B的度數，利用特殊角的三角函數值求出sinB與cosB的值，將cosC中的C變為為（B+C）-B，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，把各自的值代入即可求出cosC的值；
（2）由cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，再由a與sinA的值，利用正弦定理求出b與c的值，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積S．

解答：解：（1）∵cosA=-cos（B+C）=

11

14

，∴cos（B+C）=-

11

14

，
∴sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

5 3

14

，又B=60°，
則cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；
（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

，
∵a=5，sinA=

1-cos2A

=

5 3

14

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

5

5 3 14

=

14 3

3

，
∴c=

14 3

3

×

4 3

7

=8，b=

14 3

3

×

3

2

=7，
則S=

1

2

bcsinA=14

3

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．