Question

3．已知f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（π+α）}{cos（2π-α）tan（π-α）}$
（1）求f（-$\frac{31π}{3}$）；
（2）若2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式，同角三角函數基本關系式化簡函數解析式可得f（α）=cosα，進而利用誘導公式，特殊角的三角函數值即可計算得解．
（2）由已知利用誘導公式，同角三角函數基本關系式可求tanα=2，進而利用同角三角函數基本關系式即可計算得解．

解答 解：（1）∵f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（π+α）}{cos（2π-α）tan（π-α）}$=$\frac{sinα（-cosα）}{cosα（-tanα）}$=cosα，
∴f（-$\frac{31π}{3}$）=cos（-$\frac{31π}{3}$）=cos（10π+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），即：2cos（π+α）=cos（$\frac{π}{2}$+α），
∴-2cosα=-sinα，可得：tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2，
∴$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$+$\frac{1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{2+1}{2-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，特殊角的三角函數值在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．