Question

一個(gè)斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)5，若其中一條側(cè)棱與底面三角形的相鄰兩邊都成45°角，則這個(gè)三棱柱的側(cè)面積是（　　）

• A．60
• B．30

  2

• C．10

  2

  +20
• D．20

  2

  +20

Answer 1

分析：過A₁作A₁D⊥平面ABC，由∠A₁AC=∠A₁AB=45°，知AO是∠BAC的平分線，由△ABC是等邊三角形，知AO⊥BC，所以平面BB₁C₁C是矩形，過O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，由此能求出這個(gè)三棱柱的側(cè)面積．

解答：解：過A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=45°，
∴AO是∠BAC的平分線，
∵△ABC是等邊三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
過O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin45°=5×

2

2

，
∴S_側(cè)=2×S△AA1B+SBCC1B1=2×

1

2

×AB×A1E+BC×BB₁
=

5 2

2

×4+4×5
=20+10

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱柱的側(cè)面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三垂線定理的合理運(yùn)用．