Question

正整數數列{a_n}滿足：a₁=1，an+1=

an-n，an＞n an+n，an≤n.

（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前5項；
（Ⅱ）將數列{a_n}中所有值為1的項的項數按從小到大的順序依次排列，得到數列{n_k}，試用n_k表示n_k+1（不必證明）；
（Ⅲ）求最小的正整數n，使a_n=2013．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列{a_n}滿足遞推公式，令n=1，2，3，4及a₁=1，我們易得到a₂，a₃，a₄，a₅，的值；
（Ⅱ）由（1）和條件可歸納數列{n_k}中每一項的值與序號的關系，由歸納推理出n_k的一個通項公式，再由（Ⅰ）歸納出數列{a_n}中項之間的關系式，再得到項數之間的關系式；
（Ⅲ）把（Ⅱ）的結論化為2n_k+1+1=3（2n_k+1），記2n_k+1=x_k，轉化為新的等比數列{x_k}，利用此數列的通項公式進而求出n_k的表達式，把n_k+1=3n_k+1轉化為不等式“a_n≤3n_k+1=n_k+1”，給k具體值結合（Ⅱ）的結論，進行注意驗證a_n與2013的大小關系，一直到n₈+2-m=2013，進而求出m的值，代入對應的式子求出n的值．

解答：解：（Ⅰ）令n=1代入an+1=

an-n，an＞n an+n，an≤n

得，a₂=a₁+1=2，
令n=2代入得a₃=a₂+2=4；令n=3代入得a₄=a₃-3=1，
令n=4代入得a₅=a₄+4=5；
∴a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=1，a₅=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n₁=1，n₂=4，n₃=13，…，
猜想使ank=1的下標n_k滿足如下遞推關系：n_k+1=3n_k+1，k=1，2，3，…．
對k歸納：k=1，2時已成立，設已有ank=1，則由（Ⅰ）歸納可得，
ank+1=nk+1，ank+2=2nk+2，ank+3=nk，ank+4=2nk+3，…．
歸納易得：ank+2m-1=nk+2-m，m=1，2，…，nk+1，ank+2m=2nk+1+m，m=1，2，…，nk，
故當m=n_k+1時，a3nk+1=nk+2-(nk+1)=1=ank+1．
因此n_k+1=3n_k+1，（k=1，2，3，…）成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，n_k+1=3n_k+1，則2n_k+1=2（3n_k+1），
即2n_k+1+1=3（2n_k+1），記2n_k+1=x_k，
則x_k+1=3x_k，x₁=3，故xk=3k，因此nk=

3k-1

2

，k=1，2，3，…，
由n_k+1=3n_k+1，k=1，2，3，…可知，
當n≤3n_k=n_k+1-1時，a_n≤3n_k+1=n_k+1．
因此，當n＜n₇時，a_n≤n₇=

37-1

2

=1093；
而當n₇≤n＜n₈時，要么有a_n≤1094，要么有a_n≥2×1094，即a_n取不到2013，
進而考慮n₈≤n＜n₉的情況，
由（Ⅱ）得，ank+2m-1=nk+2-m，m=1，2，…，nk+1，
則n₈+2-m=2013，解得m=1269，解得n₈+2m-1=5817
故a5817=an8+2m-1=n8+2-m=2013．
故使得a_n=2013的最小n為5817．

點評：本題考查了利用數列的地推公式求數列中的項，再由歸納法得到有關項和項數之間的關系式，再通過賦值構造新的等比數列，考查了學生靈活應用能力和較強邏輯思維能力，難度很大．