Question

設正整數數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當n≥2時，有|

a

2 n

-an-1an+1| ＜  

1

2

an-1．
（1）求a₃的值；（2）求數列{a_n}的通項；
（3）記Tn=

12

a1

+

22

a2

+

32

a3

 +K+

n2

an

，證明：對任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（1）n=2時，|

a

2 2

-a1a3| ＜ 

1

2

a1，利用條件a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，結合正整數數列{a_n}，可求；
（2）先猜后證，關鍵是第二步的證明，必須利用歸納假設；
（3）通過兩次等式相減，利用錯位相減法求和，從而可證．

解答：解：（1）n=2時，|

a

2 2

-a1a3| ＜ 

1

2

a1，由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，因為正整數數列{a_n}，所以a₃=18；
（2）猜想a_n=2×3^n-1，下面用數學歸納法證明
①n=1，2時成立
②假設時n=k成立，即a_k=2×3^k-1，則a_k-1=2×3^k-2，于是|

a

n 2

-an-1an+1| ＜ 

1

2

an-1整理結合歸納假設得|2×3k-ak+1 | ＜ 

1

2

，因為正整數數列{a_n}，所以a_k+1=2×3^k，即n=k+1時成立
綜上知a_n=2×3^n-1
(2)證明：由2Tn=1+

22

3

+

32

32

++

n2

3n-1

②得

2

3

Tn=

12

3

+

22

3

++

(n-1)2

3n-1

+

n2

3n

③
②-③得：

4

3

Tn=

1

3

+

3

3

++

2n-1

3n-1

-

n2

3n

④
∴

4

9

Tn=

1

3

+

2

32

++

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

⑤
④-⑤式得：

8

9

Tn=

1

3

+

2

32

++

2

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n

+

n2

3n+1

=-1+2(1+ 1 3 + 2 32 ++ 1 3n-1 )- 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =-1+2• 1- 1 3n 1- 1 3 - 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =1+3- 1 3n-1 - 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =2- 2n2+6n++6 3n+1 ＜2 即Tn＜ 9 4

點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．