Question

（本小題滿分14分）

設正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₂＝4，且對于任何

n∈N^*，有．

   （1）求a₁，a₃；

   （2）求數(shù)列{ a_n }的通項a_n ．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）對任意，

【解析】解：（1）據(jù)條件得    ①

當時，由，即有，

解得．因為為正整數(shù)，故．

當時，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用數(shù)學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

因為時，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時，成立．

由1，2知，對任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用數(shù)學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

即　　　　　                      　②

由②左式，得，即，因為兩端為整數(shù)，

則．于是　　　　③

又由②右式，．

則．

因為兩端為正整數(shù)，則，

所以．

又因時，為正整數(shù)，則　　　　④

據(jù)③④，即時，成立．

由1，2知，對任意，．