Question

（2012•安徽模擬）設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=

1

2

c．
（Ⅰ）求

tanA

tanB

的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判斷當tan（A-B）取最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，結合兩角和的正弦公式展開可求
（2）利用換元，結合基本不等式可求最大值取得的條件，從而可判斷三角形的形狀．

解答：解：（1）由acosB-bcosA=

1

2

c可得2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB=3sinBcosA⇒

tanA

tanB

=3（4分）
（2）設tanB=t，則tanA=3t且t＞0
tan（A-B）=

3t-t

1+3t2

=

2t

1+3t2

=

2

3t+ 1 t

≤

3

3

（10分）
此時t=

3

3

⇒B=

π

6

⇒A=

π

3

，故C=

π

2

，△ABC為直角三角形（12分）

點評：本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦公、兩角差的正切公式在解三角形中的應用，基本不等式在求解函數最值中的應用