Question

點P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的點，
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）求|PM|-|PN|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意及雙曲線的標準方程及雙曲線的性質可求其解；
（2）由題意及已知圓的方程，利用幾何的知識可知當點P與M，F₁三點共線時使得|PM|-|PN|取最大值．

解答：解：（1）雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1中a²=9，b²=16．
漸近線方程為y=±

b

a

x，
即y=±

4

3

x．
（2）雙曲線的兩個焦點分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），
這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，
此時|PM|-|PN|=（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=6+3=9．
|PM|-|PN|的最大值為9．

點評：（1）此問重點考查了雙曲線的標準方程及雙曲線的性質；
（2）此問重點考查了利用幾何知識及點P，M，的位置，利用三角形中兩邊之差小于第三邊，進而求出最值．