Question

點P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1右支上一點，F₁，F₂分別是該雙曲線的左，右焦點，點M為線段PF₂的中點．若△OMF₂的周長為12，點O為坐標原點，則點P到該雙曲線的左準線的距離為（　　）

Answer 1

分析：先利用三角形中線性質計算焦點三角形PF₁F₂的周長，再利用雙曲線的第一定義，求得點P到左焦點的距離，最后利用雙曲線的第二定義，求得所求距離

解答：解：∵M為線段PF₂的中點，又∵O為F₁F₂的中點，∴OM∥PF₁，且OM=

1

2

|PF₁|
∴△OMF₂的周長為△PF₁F₂的周長的一半
∴△PF₁F₂的周長l=24=PF₁+PF₂+F₁F₂，
∵PF₁-PF₂=6，F₁F₂=10，∴PF₁=10，PF₂=4
∵雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的離心率e=

5

3

，設點P到該雙曲線的左準線的距離為d，
∴

PF1

d

=e，即

10

d

=

5

3

，∴d=6
∴P到該雙曲線的左準線的距離為6
故選B

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程及其幾何性質，雙曲線的兩個定義及其應用，焦點三角形中的計算問題，求得點P到左焦點的距離是解決本題的關鍵，屬基礎題