Question

4．已知函數f（x）=x²-4x-4，
（1）若 x∈[0，5]時，求f（x）的值域；
（2）若x∈[t，t+1]（t∈R），求函數f（x）的最小值g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函數的對稱軸，得到函數的單調區間，求出函數的最值，從而求出函數的值域即可；
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即拋物線開口向上，對稱軸為x=2，最小值為-8，過點（0，-4），通過數形結合得出分段函數，再作出其圖象即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
對稱軸x=2，開口向上，
f（x）在[0，2）遞減，在（2，5]遞增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-8，
f（x）的最大值是f（5）=1，
故答案為：[-8，1]．
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
即拋物線開口向上，對稱軸為x=2，最小值為-8，過點（0，-4），
結合二次函數的圖象可知：
當t+1＜2，即t＜1時，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），
在x=t+1處取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
當 $\left\{\begin{array}{l}{t+1≥2}\\{t≤2}\end{array}\right.$，即1≤t≤2時，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2處取最小值-8，
當t＞2時，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t處取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值為g（t），由以上分析可得，
g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7，t∈（-∞，1）}\\{-8，t∈[1，2]}\\{{t}^{2}-4t-4，t∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，
作圖象如下：
．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質以及分類討論思想，是一道中檔題．