Question

1．設直線l的方程是x+my+2$\sqrt{3}$=0，圓O的方程是x²+y²=r²（r＞0）．
（1）當m取一切實數時，直線l與圓O都有公共點，求r的取值范圍；
（2）r=5時，求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍；
（3）當r=1時，設圓O與x軸相交于P、Q兩點，M是圓O上異于P、Q的任意一點，直線PM交直線l′：x=3于點P′，直線QM交直線l′于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）只需直線所過的定點在圓內，即可使得m取一切值時，直線與圓都有公共點；
（2）顯然定點與圓心的連線垂直于直線時，弦長最短，直線過圓心時，弦長為直徑最大．
（3）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論．

解答 解：（1）直線l過定點（-2$\sqrt{3}$，0），當m取一切實數時，直線l與圓O都有公共點等價于點（-2$\sqrt{3}$，0）在圓O內或在圓O上，
所以12+0≤r²，解得r≥2$\sqrt{3}$．
所以r的取值范圍是[2$\sqrt{3}$，+∞）；
（2）設坐標為（-2$\sqrt{3}$，0）的點為點A，則|OA|=2$\sqrt{3}$．
則當直線l與OA垂直時，由垂徑定理得直線l被圓O截得的弦長為l=2$\sqrt{25-12}$=2$\sqrt{13}$；
當直線過圓心時，弦長最大，即x軸被圓O截得的弦長為2r=10；                       
所以直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[2$\sqrt{13}$，10]．
（3）證明：對于圓O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l方程為x=3，設M（s，t），
則直線PM方程為y=$\frac{t}{s+1}$（x+1）．
令x=3，得P'（3，$\frac{4t}{s+1}$），
同理可得：Q'（3，$\frac{2t}{s-1}$）．
所以圓C的圓心C的坐標為（3，$\frac{3st-t}{{s}^{2}-1}$），半徑長為|$\frac{st-3t}{{s}^{2}-1}$|，
又點M（s，t）在圓上，又s²+t²=1．故圓心C為（3，$\frac{1-3s}{t}$），半徑長|$\frac{3-s}{t}$|．
所以圓C的方程為（x-3）²+（y-$\frac{1-3s}{t}$）²=（$\frac{3-s}{t}$）²，
又s²+t²=1，
故圓C的方程為（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$-8=0，
令y=0，則（x-3）²=8，
所以圓C經過定點，y=0，則x=3±2$\sqrt{2}$，
所以圓C經過定點且定點坐標為（3±2$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查的知識是直線和圓的方程的應用，主要考查圓的方程的求法，同時考查圓恒過定點的求法，注意轉化為圓系方程是解答本題的關鍵．