Question

（2008•河西區三模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，又橢圓C與y軸正半軸交于B點，右準線與x軸交于D點，且

FD

=(2，0)，

BF

•

FD

=4，過點D作直線l交橢圓C于不同兩點P，Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l斜率的取值范圍；
（3）若在x軸上的點M（m，0），使|

MP

|=|

MQ

|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得B（0，b），F（c，0），D(

a2

c

，0)．即可表示出

BF

，

FD

，

BF

•

FD

，又a²=b²+c²，即可得出橢圓的方程；
（2）設l的方程為y=k（x-4），與橢圓方程聯立，利用△＞0即可得出k的取值范圍；
（3）設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點R（x₀，y₀），利用（2）中的根與系數的關系和中點坐標公式可用k表示點R的坐標，
當k=0時，容易得出M；k≠0時，若|

MP

|=|

MQ

|?MR⊥l?k•kMR=-1，再根據（2）k的取值范圍即可得出．

解答：解：（1）由題意可得B（0，b），F（c，0），D(

a2

c

，0)．
于是

BF

=(c，-b)，

FD

=(

a2

c

-c，0)=(

b2

c

，0)=(2，0)．
故

b2

c

=2，

BF

•

FD

=b2=4
∴c=2，于是a²=b²+c²=8
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）點D（4，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以l的斜率存在．
故設l的方程為y=k（x-4），由

x2 8 + y2 4 =1 y=k(x-4)

得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，
依題意△=-（64k²-32）＞0k2＜

1

2

∴l的斜率的取值范圍為-

2

2

＜k＜

2

2

．
（3）設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點R（x₀，y₀），則x₁+x₂=

16k2

2k2+1

，
x0=

x1+x2

2

=

8k2

2k2+1

，y0=k(x0-4)=k(

8k2

2k2+1

-4)=

-4k

2k2+1

．
當k=0時，P、Q為長軸的兩個頂點．
此時M（0，0）滿足|

MP

|=|

MQ

|，
k≠0時，若|

MP

|=|

MQ

|?MR⊥l?k•kMR=-1
又kMR=

4k

2k2+1

÷(m-

8k2

2k2+1

)=

4k

(2m-8)k2+m

由k_MR•k=-1，即4k²=-（2m-8）k²-m=（8-2m）k²-m（4-2m）k²=m．
∵0＜k2＜

1

2

，∴m≠2時，k2=

m

4-2m

．
∴0＜

m

4-2m

＜

1

2

．
由

m 4-2m ＞0 m 4-2m ＜ 1 2

解得

0＜m＜2 m＞2或m＜1

∴0＜m＜1綜上得0≤m＜1．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓的位置關系轉化為方程聯立得到△＞0即根與系數的關系、中點坐標公式、相互垂直的直線之間的關系等是解題的關鍵．