Question

（2008•河西區(qū)三模）設(shè)x，y滿足不等式組

x-4y+16≥0 5x-y-15≤0 4x+3y-12≥0

，則

x2+y2

的最小值為（　　）

• A．2
• B．

  12

  5

• C．3
• D．4

Answer 1

分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得

x2+y2

，表示O、P兩點(diǎn)的距離值，當(dāng)P與原點(diǎn)O在AB上的射影點(diǎn)D重合時(shí)，|OP|達(dá)到最小值，因此在Rt△OAB中，算出斜邊AB上的高OD=

12

5

，即可得到

x2+y2

的最小值．

解答：解：作出不等式組

x-4y+16≥0 5x-y-15≤0 4x+3y-12≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（0，4），B（3，0），C（4，5）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
則|OP|=

x2+y2

，表示O、P兩點(diǎn)的距離值
觀察圖形，可得當(dāng)P與原點(diǎn)O在AB上的射影點(diǎn)D重合時(shí)，|OP|達(dá)到最小值
∵Rt△OAB中，OA=4，OB=3
∴AB=

42+32

=5，得斜邊AB上的高OD=

OA•OB

AB

=

12

5

由此可得

x2+y2

的最小值為

12

5

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求

x2+y2

的最小值，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題