Question

已知函數f（x）=（x≠0，a＞0，c＞0），當x∈（0，+∞）時，函數f（x）在x=2處取得最小值1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設k＞0，解關于x的不等式（3k+1）-4f（x）＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）在x=2處取得最小值1，可知f（2）=1，f′（2）=0，可解得a、c的值，可知函數f（x）的解析式；
（2）把（1）求得的f（x）代入不等式，解關于x的不等式，轉化為整式不等式求解．
解答：解：（1）∵a＞0，c＞0，
∴當x＞0時，f（x）=
當x=即x=時，函數f（x）取得最小值，
由題意
∴f（x）=（x≠0）
（2）（3k+1）-4f（x）＞?＜0
∵k＞0
∴k+1＞k＞0
①當0＜k＜1時，0＜2k＜k+1，原不等式解集為（-∞，0）∪（2k，k+1）
②當k＞1時，0＜k+1＜2k，原不等式解集為（-∞，0）∪（k+1，2k）
③當k=1時，0＜2k=k+1，原不等式解集為（-∞，0）
點評：考查利用導數研究函數的極值，和含參數不等式的解法，體現了方程的思想、轉化的思想和分類討論的思想，屬難題．