Question

已知a＞0，且a≠1，設p：函數y=a^X在R上單調遞減，Q：函數f（x）=x²-2ax+1在（

1

2

，+∞）上為增函數，“P∧Q”為假，“P∨Q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：首先根據兩個命題都真命題時，求出a的取值范圍，然后，根據由“P∧Q”為假，P∨Q為真知P和Q有且只有一個為真．進行討論，完成求解過程．

解答： 解：根據題意，
p真：0＜a＜1，
Q真：0＜a≤

1

2

，
由“P∧Q”為假，P∨Q為真知P和Q有且只有一個為真．
（1）當P真Q假時，{a|0＜a＜1}∩{a?a＞

1

2

且a≠1}={a?

1

2

＜a＜1}
（2）當P假Q真時{a?a＞1}∩{a|0＜a≤

1

2

}=?
綜上可知：

1

2

＜a＜1．
∴實數a的取值范圍（

1

2

，1）．

點評：本題重點考查了復合命題的真值表和判斷、命題的真假判斷等知識，屬于中檔題．