Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= 是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

又由f（1）=2．

故 ，

解得：a=4，b=0，

f（x）=

（2）解：函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)遞增，理由如下：

∵f（x）= ，

∴f′（x）= ，

當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，

故函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)遞增

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的特性，可得f（0）=0，又由f（1）=2．可得實(shí)數(shù)a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；（2）求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)遞增．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．