Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，且 ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面積最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為a、b、c成等比數列，則b2=ac．由正弦定理得sin2B=sinAsinC．
又 ，
所以 ．
因為sinB＞0，
則 ．
因為B∈（0，π），
所以B= 或 ．
又b2=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，
故 ．
（II）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，得ac≤9．
所以， ．
當a=c=3時，△ABC的面積最大值為
【解析】（Ⅰ）由正弦定理結合已知可得sin2B=sinAsinC．又 ，結合sinB＞0，可求sinB的值，結合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b2=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，從而可求B的值．（II）由余弦定理結合已知可得ac≤9，由三角形面積公式可得 ，即可求得△ABC的面積最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．