Question

【題目】如圖，在海岸線一側處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設立了兩個報名點，滿足中任意兩點間的距離為.公司擬按以下思路運作：先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉點處(點異于兩點)，然后乘同一艘輪游輪前往島．據統計，每批游客處需發車2輛， 處需發車4輛，每輛汽車每千米耗費元，游輪每千米耗費元．（其中是正常數）設∠，每批游客從各自報名點到島所需運輸成本為元．

(1) 寫出關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

(2) 問：中轉點距離處多遠時， 最小？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）在中，求出相關的角，利用正弦定理，求出，表示出所需運輸成本為元關于的函數表達式；（2）利用函數表達式，求出函數的導數，通過導數的符號，判斷單調性求解函數的最值.

試題解析：(1) 由題知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.

由正弦定理知，

即CD＝， AD＝，

所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a

＝a＋80a ＝a＋60a

(2) S′＝20 ，

令S′＝0得cos α＝

當cos α>時，S′<0； 當cos α<時，S′>0，

所以當cos α＝時，S取得最小值，

此時sin α＝，AD＝＝5＋，

所以中轉點C距A處km時，運輸成本S最�。�