Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）判斷函數f（x）在（0，+∞）的單調性；
（2）若f（x）=x+

2b

x

在（0，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，求實數b的值；
（3）若c∈[1，4]，求函數f（x）=x+

c

x

在區間[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；
（2）運用基本不等式，結合條件可得，

2b

=4，解得b，即可；
（3）運用基本不等式，可得當x=

c

時，f（x）取得最小值f（

c

）=2

c

，討論當1≤c≤2時，當c=2時，當2＜c≤4時，求得最大值即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1-

a

x2

∴當x＞0時，由f′（x）＞0可解得x＞

a

，
由f′（x）＜0可解得0＜x＜

a

，
∴函數f（x）在（0，

a

）上是減函數，在（

a

，+∞）上是增函數；
（2）f（x）=x+

2b

x

（x＞0）≥2

2b

，當且僅當x=

2b

，取得最小值，
∵2^b＞0∴由題意可知

2b

=4，故b=4；
（3）∵1≤c≤4∴1≤

c

≤2，
∴函數f（x）在[1，

c

]上是減函數，在（

c

，2]上是增函數，
故當x=

c

時，f（x）取得最小值f（

c

）=2

c

又∵f（1）=1+c，f（2）=2+

c

2

，
∴當1≤c≤2時，f（x）的最大值為f（2）=2+

c

2

，
當c=2時，f（x）的最大值為f（1）=f（2）=3，
當2＜c≤4時，f（x）的最大值為f（1）=1+c．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間，考查函數的單調性和運用：求最值和范圍，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．