Question

5．如圖，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點P使得GP⊥BP，則邊CG長度的最小值為  （　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐標系，設CG=a，P（x，0，$\frac{ax}{2}$），根據GP⊥BP列方程得出a²關于x的函數，根據x的范圍求出a²的最小值，從而得出a的最小值．

解答 解：以DA，DC，DF為坐標軸建立空間坐標系，如圖所示：
設CG=a，P（x，0，z），則$\frac{x}{2}=\frac{z}{a}$，即z=$\frac{ax}{2}$．
又B（2，2，0），G（0，2，a），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2-x，2，-$\frac{ax}{2}$），$\overrightarrow{PG}$=（-x，2，a（1-$\frac{x}{2}$）），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PG}$=（x-2）x+4+$\frac{{a}^{2}x（x-2）}{4}$=0，
顯然x≠0且x≠2，
∴a²=$\frac{16}{2x-{x}^{2}}-4$，
∵x∈（0，2），∴2x-x²∈（0，1]，
∴當2x-x²=1時，a²取得最小值12，
∴a的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．