Question

在△ABC中，角A，B，C所列邊分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=

3

，試判斷bc取得最大值時△ABC形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理和同角三角函數的基本關系化簡已知式可得cosA=

1

2

，從而求得角A的值．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理和基本不等式可得bc≤3，此時根據b=c=

3

，又a=

3

，可得，△ABC為等邊三角形

解答：解：（Ⅰ）∵1+

tanA

tanB

=

2c

b

，∴1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，…（2分）
即

sinBcosA+sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，∴cosA=

1

2

，…（4分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，且a=

3

，
∴(

3

)2=b2+c2-2bc•

1

2

=b2+c2-bc，∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc，
即bc≤3，當且僅當b=c=

3

時，bc取得最大值，…（9分），
又a=

3

，故bc取得最大值時，△ABC為等邊三角形 …（12分）

點評：本題考查正弦定理、余弦定理，同角三角函數的基本關系，基本不等式的應用，求出bc≤3，是解題的難點．