Question

 設(shè)，函數(shù).

（Ⅰ）若，試求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （本小題滿分１5分）

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

則的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù). ………………………2分

顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

從而在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增. …………………………………………4分

故導(dǎo)數(shù)的極小值為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）解法1：對(duì)任意的，記函數(shù)，

根據(jù)題意，存在，使得當(dāng)時(shí)，.

易得的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)…………9分

①若，因在上遞增，故當(dāng)時(shí)，>≥0，

于是在上遞增，則當(dāng)時(shí)，>，從而在上遞增，故當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾 ……………………………………11分

②若，注意到在上連續(xù)且遞增，故存在，使得當(dāng)

，從而在上遞減，于是當(dāng)時(shí)，，

因此在上遞減，故當(dāng)時(shí)，，滿足已知條件……13分

綜上所述，對(duì)任意的，都有，即，亦即，

再由的任意性，得，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件，所以…………………………15分

解法2：由題意知，對(duì)任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)，都有成立，即成立，則存在，使得當(dāng)時(shí)，成立，

又，則存在，使得當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)使成立，

又，故存在，使得當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)成立，即，得.