Question

已知AC切⊙O于C點，CP為⊙O直徑，AB切⊙O于D點，且與CP的延長線相交于B點，如圖，(1)若BD=2BP，求證：PC=3BP，AC=PC．

(2)若PC=3BP，求證：BD=2BP，AC=PC．

(3)若AC=PC，求證：PC=3BP，BD=2BP．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)證法1：由切割線定理，得 ． 連結OD，如上圖，設⊙O半徑為r， ∵，∴． ∴．∴2r=3BP=PC． 由△BDO∽△BCA得，∴． ∴AC=2DO=2r．   ∴AC=PC． 證法2：如圖． 連結DP和DC．∵∠BDP=∠C，∠B=∠B， ∴△BPD∽△BDC．∴． ∵BD=2BP，∴BC=2BD=4BP．∴PC=3BP，． 再連結OA，由切線長定理可得 ∵AD=AC，AD平分∠BAC，∴OA⊥CD，∠ACB=90°． ∵∠DCP=90°－∠ACD=∠OAC，∠PDC=∠ACO=90°， ∴△PDC∽△OCA．∴．∴AC=2OC=PC． 還可如下證明： ∵易得DP∥AO，∴． ∵，AD=AC， ∴AC=2PO=PC． (2)由切割線定理，得∵，又∵PC=3BP， ∴BC=4BP，∴BD=2BP． 其他證法要與前面方法對照進行證明即可， (3)如圖，易證DP∥AO，∴．又∵AD=AC，AC=PC， ∴，∴BD=2BP． 又∵CM⊥AO，∠ACO=90°，由射線定理有， ∵，∴， ∵OC=OP，CM=MD，∴． ∴．即． ∵AO∥DP，∴△BPD∽△BOA．∴． ∴，即．∴3BP=2PO=PC． 此外其他證法仍可參照前面方法進行．