Question

請考生在第23，24，25題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號．
選修4-1　 幾何證明選講
已知C點在⊙O的直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，CD是∠ACB的平分線，交AE于點F，交AB于點D．
（Ⅰ）求∠ADF的度數；
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內內角和定理等通過角的關系求解．
（Ⅱ）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設∠EAC=α，根據弦切角定理，∠ABE=α．
根據三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據三角形內角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內角平分線，所以FCE=45°-α．
再根據三角形內角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
根據對頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△BCA∽△ACE，∴

AC

BC

=

AE

AB

，
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=

3

3

．

點評：本題考查圓的切線的性質，考查三角形的相似，解題的關鍵是確定角的相等關系，注意弦切角定理的合理運用，屬于中檔題．