Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知C點在⊙O直徑的延長線上，CA切⊙O于A點，DC是∠ACB的平分線，交AE于F點，交AB于D點．
（1）求∠ADF的度數；
（2）若AB=AC，求AC：BC．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分線，可得∠ACD=∠DCB，進而∠ADF=∠AFD，由BE為⊙O的直徑，結合圓周角定理的推論，可得∠ADF的度數；
（2）由（1）的結論，易得△ACE∽△BCA，根據三角形相似的性質可得

AC

BC

=

AE

AB

，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答：（1）因為AC為⊙O的切線，所以∠B=∠EAC
因為DC是∠ACB的平分線，所以∠ACD=∠DCB
所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，
又因為BE為⊙O的直徑，所以∠DAE=90°．
所以∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45°．
（2）因為∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以

AC

BC

=

AE

AB

，
在△ABC中，又因為AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tanB=tan30°=

3

3

點評：本題考查的知識點是弦切角，三角形相似的性質，其中（1）中是要根據已知及弦切角定理結合等量代換得到∠ADF=∠AFD，（2）的關鍵是根據三角形相似的性質得到

AC

BC

=

AE

AB

=tanB．