Question

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f（x）＜0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明f（x）在定義域上是減函數；
（Ⅱ）如果，求滿足不等式的x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
，∴
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴，∴，
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在定義域內是減函數．
（Ⅱ）由已知f（x•y）=f（x）+f（y），
可得∴．，
∴，
∵f（x）在定義域內是減函數，
∴
分析：（1）要掌握定義法證明單調性的前提是x₁＜x_2，判斷f（x₂）＜f（x₁）即可，準確構造條件當x＞1時，f（x）＜0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，，進而得出結論；
（2）要利用第一問的結論，加上條件f（x•y）=f（x）+f（y），利用單調性即可解出答案．
點評：本題要掌握定義法證明單調性的前提是x₁＜x_2，判斷f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一問無法準確得出，可以直接將結論應用于第二問．