Question

已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點，求證：a、b、c、d共面．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)若其中任意三條直線不共點，如圖(1)，不妨設相交直線a、b確定平面a且直線c與a、b分別交于點M、N，則有M∈a，N∈a，∴ca．同理可證da．∴a、b、c、d共面． (2)若其中有三條直線共點，如圖(2)，不妨設a∩b∩c=Q且d∩a=M，d∩b=N，d∩c=P．∵Qd，∴點Q與直線d確定一個平面a．∵Q∈a，M∈a，∴aa．同理，ba，ca． ∴a、b、c、d共面． 點評：證明多條直線共面問題，常利用公理3或它的三個推論先確定一個平面，然后再證明其他直線也在此平面內(常用公理1)，證明多點共線也有類似方法．如果構成圖形的所有點都在一個平面內，這個圖形叫做平面圖形，本例中a、b、c、d構成一個平面圖形．