Question

已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點，求證:a、b、c、d共面.

Answer 1

證明:（1）若其中任意三條直線不共點，

如圖（1），不妨設相交直線a、b確定平面α且直線c與a、b分別交于點M、N，則有M∈α, N∈α,∴cα.

同理,可證dα.

∴a、b、c、d共面.

（2）若其中有三條直線共點，如圖（2），不妨設a∩b∩c=Q且d∩a=M,d∩b=N,d∩c=P.

∵Qd,

∴點Q與直線d確定一個平面α.

∵Q∈α，M∈α,∴aα.

同理，bα,cα.

∴a、b、c、d共面.

小結:證明多條直線共面問題，常利用公理3或它的三個推論先確定一個平面，然后再證明其他直線也在此平面內（常用公理1），證明多點共線也有類似方法.如果構成圖形的所有點都在一個平面內，那么這個圖形叫做平面圖形，本例中a、b、c、d構成一個平面圖形.