Question

【題目】設函數，．

（）設，討論函數的單調性．

（）設，求證：當時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（）求得，分兩種討論，即可求解函數的單調性；

（）當，由（）可知，當時，，在上單調遞增，當時，，是低調遞減，得在取得最大值，得到，代入得，得到，即可作出證明.

試題解析：

（）∵，且定義域為，

當時，，

∴在上單調遞增，

當時，，有，

當，，當，，

∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

綜上，當時，在上單調遞增，

當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

（）∵，由（）可知， 在上單調遞增，

∵，

，

∴存在唯一，使得，且，

∵，

∴有或，

當時，，在上單調遞增，

當時，，是低調遞減，

∴在取得最大值，即為在區間的最大值，

∴，

∵，

∴，

代入，

∵在在單調遞增，，

∴，

∴當時，有．