Question

已知曲線C：4x²－y|y|＝1

(Ⅰ)若直線l：y＝2x＋m與曲線C只有一個公共點，求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)若直線l：y＝kx＋1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且·＜(其中O為坐標原點)，求實數k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)曲線為雙曲線的上半部分(含與x軸交點)和橢圓的下半部分構成，圖象如圖所示，　2分 　　雙曲線漸近線為y＝±2，直線y＝2x＋m與雙曲線的一條漸進線平行， 　　聯立時，直線與完整的雙曲線只能有一個交點； 　　聯立時直線與橢圓下半部分相切；　4分 　　綜上可得： 　　 　　所以實數m的取值范圍為m＝－或m≥0　6分 　　(Ⅱ)直線l：y＝kx＋1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B，由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點　8分 　　聯立l：y＝kx＋1與4x2－y2＝1可得：(4－k2)x2－2kx－2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　由題可得－2＜k＜2，　10分 　　又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1， 　　由·＜可得x1x2＋y1y2＜，解得k2＞1， 　　所以－2＜k＜－1或1＜k＜2　12分