Question

已知曲線C:4x²-y|y|=1.

(1)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個公共點,求實數m的取值范圍;

(2)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且·＜(其中O為原點),求實數k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)曲線為雙曲線4x²-y²=1的上半部分(含與x軸交點)和橢圓4x²+y²=1的下半部分構成,圖象如圖所示,

雙曲線漸近線為y=±2x,直線y=2x+m與雙曲線的一條漸近線平行,

聯立得4mx+m²+1=0,可得m≠0時,直線與完整的雙曲線只能有一個交點;

聯立得8x²+4mx+m²-1=0,由Δ=0,解得m=-2時直線與橢圓下半部分相切;

綜上可得:

當m≥1時,直線與雙曲線有一個交點;

當0≤m＜1時,直線只與橢圓有一個交點;

當-1＜m＜0時,直線與雙曲線和橢圓各有一個交點;

當-＜m≤-1時,直線與橢圓有兩個交點;

當m=-時,直線只與橢圓有一個交點;

所以實數m的取值范圍為m=-或m≥0.

(2)直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B,由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點,

聯立l:y=kx+1與4x²-y²=1,可得(4-k²)x²-2kx-2=0,設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由題可得-2＜k＜2,

又y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=1,

由·＜,可得x₁x₂+y₁y₂＜,解得k²＞1,

所以-2＜k＜-1或1＜k＜2.