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【題目】已知橢圓C)的短軸長和焦距相等,左、右焦點分別為,點滿足:.已知直線l與橢圓C相交于AB兩點.

1)求橢圓C的標準方程;

2)若直線l過點,且,求直線l的方程;

3)若直線l與曲線相切于點),且中點的橫坐標等于,證明:符合題意的點T有兩個,并任求出其中一個的坐標.

【答案】123)證明見解析;其中一個的坐標為

【解析】

1)根據題意計算得到,解得答案.

2)設,由題意,則可設直線l的方程為:,聯立方程,根據韋達定理得到,代入計算得到答案.

3)設,設直線l的方程為:,聯立方程得到,根據切線方程得到,根據對應函數的單調性得到答案.

1)設橢圓C焦距為,因為橢圓C的短軸長和焦距相等,

所以①,

因為,所以點Q在橢圓C上,

代入得:②,

由①②解得:,所以橢圓C的方程為

2)設,由題意,則可設直線l的方程為:

得:

所以

又因為,所以

所以,解得:

所以

所以,解得:

所以直線l的方程為:.

3)設,由題意直線l的斜率存在,設直線l的方程為:

得:,則

因為直線l與曲線相切于點),

所以,所以

整理得

),所以

因為上單調遞增;且

所以,存在)使得.

因此上單調遞減,在上單調遞增;所以

又因為,所以

又因為

因此除零點外,在上還有一個零點,

所以,符合題意的點T有兩個,其中一個的坐標為.

練習冊系列答案
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