Question

已知三棱錐P-ABC中，G₁、G₂、G₃分別是側面△PAB，△PAC，△PBC的重心．
（1）求證：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求△G₁G₂G₃的面積與△ABC的面積之比．

Answer 1

考點：平面與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接BG₁并延長交PA于點D，連接CG₂，并延長也交PA于點D，則G₁G₂∥BC，同理可證，G₂G₃∥AB，由此能證明平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）由DG₁=

1

2

BG₁、DG₂=

1

2

CG2，得DG₁=

1

3

BD，DG₂=

1

3

CD，從而G₁G₂=

1

3

BC，由此能求出△G₁G₂G₃的面積與△ABC的面積之比

1

9

．

解答：（1）證明：因為G₁、G₂分別是側面△PAB，△PAC的重心，
所以可以連接BG₁并延長交PA于點D，連接CG₂，
并延長也交PA于點D，則BD、CD分別為△PAB，△PAC的中線，
根據△重心的性質，得DG₁=

1

2

BG₁，DG₂=

1

2

CG₂．
所以G₁G₂∥BC，（平行線分線段成比例）
同理可證，G₂G₃∥AB，
所以平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）解：因為DG₁=

1

2

BG₁、DG₂=

1

2

CG2，
所以DG₁=

1

3

BD，DG₂=

1

3

CD，
又G₁G₂∥BC，∴△DG₁G₂∽△DBC，
所以G₁G₂=

1

3

BC，
同理可證，G₂G₃=

1

3

AB，G₁G₃=

1

3

AC，
所以△G₁G₂G₃與△ABC的邊長之比為

1

3

，
故△G₁G₂G₃的面積與△ABC的面積之比

1

9

．

點評：本題考查平面與平面平行的證明，考查兩平面的面積之比的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．