Question

在邊長為2的等邊△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，則

EB

•

ED

的取值范圍是（　　）

• A、[

  23

  16

  ，3]
• B、[

  23

  16

  ，2]
• C、[

  3

  2

  ，3]
• D、[2，9]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意得，

AE

與

AB

的夾角是60°，根據(jù)的向量的幾何意義得到

EB

•

ED

的表達(dá)式，求出最值，即得取值范圍．

解答：解：由題意得，

AE

與

AB

的夾角是60°，D是AB的中點(diǎn)，設(shè)|

AE

|=x，
∴

EB

•

ED

=(

AB

-

AE

)•(

AD

-

AE

)
=

AB

•

AD

-

AB

•

AE

-

AD

•

AE

+(

AE

)2
=2-3|

AD

|•|

AE

|cos60°+|

AE

|2
=2-

3

2

x+x2
由于E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，故 0≤x≤2，
令f（x）=2-

3

2

x+x2=(x-

3

4

)2+

23

16

，
∴當(dāng)x=

3

4

時(shí)，f(x)min=

23

16

，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_max=3，
∴

EB

•

ED

的取值范圍是[

23

16

，3]．
故選A．

點(diǎn)評：本題題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．