【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（ ）
A.﹣ 
B.
C.
D.1
【答案】C
【解析】解：因為f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ 
）=0，
所以函數f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等價于函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點．
①當a=0時，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；
②當a＜0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最高點為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象有兩個交點，矛盾；
③當a＞0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最低點為B（1，2a），
由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a= 
，符合條件；
綜上所述，a= ，
故選：C．
通過轉化可知問題等價于函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結合函數的單調性分析可得結論．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥| 
+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ 
，2]
B.[﹣ ， 
]
C.[﹣2 
，2]
D.[﹣2 ， ]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】解答下列問題：
（1）求平行于直線3x+4y- 2=0,且與它的距離是1的直線方程；
（2）求垂直于直線x+3y -5=0且與點P( -1,0)的距離是
的直線方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量 
=（cosx，sinx）， 
=（3，﹣ 
），x∈[0，π]．
（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）記f（x）= 
，求f（x）的最大值和最小值以及對應的x的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）f（x+α），其中α是常數．
（1）設f（x）=cosx+sinx，
，求g（x）的解析式；
（2）設計一個函數f（x）及一個α的值，使得
；
（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）在區間[0， 
]上的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f(x)是R上的奇函數，當x＞0時，解析式為f(x)＝
.
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)用定義證明f(x)在(0，＋∞)上為減函數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某研究型學習小組調查研究高中生使用智能手機對學習的影響，部分統計數據如下：
使用智能手機 | 不使用智能手機 | 合計 | |
學習成績優秀 |
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學習成績不優秀 |
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合計 |
（1）根據以上統計數據，你是否有
的把握認為使用智能手機對學習有影響？
（2）為進一步了解學生對智能手機的使用習慣，現從全校使用智能手機的高中生中（人數很多）隨機抽取 
人，求抽取的學生中學習成績優秀的與不優秀的都有的概率.
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙曲線E： 
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， P是E坐支上一點，且|PF1|=|F1F2|，直線PF2與圓x2+y2=a2相切，則E的離心率為 ．
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