Question

【題目】已知橢圓： 上頂點為，右頂點為，離心率， 為坐標原點，圓： 與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線： （）與橢圓相交于兩不同點，若橢圓上一點滿足，求面積的最大值及此時的.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時， 的面積的最大值為.

【解析】試題分析：

（1）利用寫出直線的方程，由圓與直線相切可得的一個方程，由離心率又得，結合可解得，得標準方程；（2）把直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去后得的一元二次方程，由判別式大于0得的取值范圍，設交點為，由韋達定理得，利用橢圓中的弦長公式求得弦長，再求得原點到直線的距離（即為到直線距離），于是的面積就可用表示出來了，再由換元法（設）可求得最大值．

試題解析：

（1）由題意，直線的方程為，即為.因為圓與直線相切，所以，…………①

設橢圓的半焦距為，因為， ，所以，…………②

由①②得，所以橢圓的標準方程為.

（2）由可得，設，則

∴，

所以，

又點到直線的距離，

∵，∴，又因為

得，又，∴，令，則，所以當， 時， 最大值為，所以當時， 的面積的最大值為.