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【題目】已知橢圓 上頂點為,右頂點為,離心率 為坐標原點,圓 與直線相切.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)直線 )與橢圓相交于兩不同點,若橢圓上一點滿足,求面積的最大值及此時的.

【答案】(1);(2) 的面積的最大值為.

【解析】試題分析:

(1)利用寫出直線的方程,由圓與直線相切可得的一個方程,由離心率又得,結合可解得,得標準方程;(2)把直線方程與橢圓方程聯立方程組,消去后得的一元二次方程,由判別式大于0得的取值范圍,設交點為,由韋達定理得,利用橢圓中的弦長公式求得弦長,再求得原點到直線的距離(即為到直線距離),于是的面積就可用表示出來了,再由換元法(設)可求得最大值.

試題解析:

(1)由題意,直線的方程為,即為.因為圓與直線相切,所以,…………①

設橢圓的半焦距為,因為 ,所以,…………②

由①②得,所以橢圓的標準方程為.

(2)由可得,設,則

,

所以,

又點到直線的距離

,∴,又因為

,又,∴,令,則,所以當 時, 最大值為,所以當時, 的面積的最大值為.

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【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線相交于兩點,點關于軸的對稱點為.

(Ⅰ)證明:點在直線上;

(Ⅱ)設,求的內切圓的方程.

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【題目】某中學開展了一系列的讀書教育活動,為了解本校學生課外閱讀情況,學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調查,下圖是根據調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”,低于60分鐘的學生稱為“非讀書迷”.

(Ⅰ) 求的值并估計全校3000名學生中“讀書迷”大概有多少?(將頻率視為概率)

(Ⅱ)根據已知條件完成下面的列聯表,并據此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關?

非讀書迷

讀書迷

合計

15

45

合計

附: ,

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】已知為常數).

(1)求的極值;

(2)設,記,已知為函數是兩個零點,求證: .

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(1) 若是函數的一個極值點,求值和函數的單調區間;

(2)當時,求在區間上的最值.

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【題目】已知拋物線焦點為,點AB,C為該拋物線上不同的三點,且滿足.

(1)求;

(2)若直線軸于點,求實數的取值范圍.

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【題目】已知函數

(1)若 的一個極值點,求 值及的單調區間;

(2)當 時,求在區間上的最值.

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【題目】甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動,在每一輪活動中,依次播放三首樂曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首,若有一人猜錯,則活動立即結束;若三人均猜對,則該小組進入下一輪,該小組最多參加三輪活動.已知每一輪甲猜對歌名的概率是,乙猜對歌名的概率是,丙猜對歌名的概率是,甲、乙、丙猜對與否互不影響.

(I)求該小組未能進入第二輪的概率;

(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數為隨機變量,求的分布列和數學期望.

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【題目】在數列{an}{bn}中,a12b14,且an,bn,an1成等差數列,bnan1,bn1成等比數列{nN}

a2,a3,a4b2b3,b4,由此猜測{an}{bn}的通項公式,并證明你的結論;

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