Question

【題目】如圖，在正方體中，E，F，M，N分別是，BC，，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面NEF;

（2）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）正方形中三個(gè)中點(diǎn)，可得，由正方體可證，從而可得線面垂直，又得面面垂直；

（2）過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，連接MG，證明為二面角的平面角.然后求解．

（1）證明：因?yàn)?/span>N，F為所在棱的中點(diǎn)，所以平面.

又平面，所以.

又因?yàn)?/span>M，E為所在棱的中點(diǎn)，所以和均為等腰直角三角形.

所以.所以.所以.

又，所以平面NEF.又平面MNF，

所以平面平面NEF.

（2）在平面NEF中，過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，連接MG.

由（1）知平面NEF，又平面NEF，所以.

又，所以平面MNG.所以.

所以為二面角的平面角.

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2.

在中，，

所以在中.

所以二面角的平面角的正切值為.